¿Qué es teorema del valor medio?

Teorema del Valor Medio

El Teorema del Valor Medio (TVM) es un teorema fundamental en cálculo que relaciona el cambio promedio de una función en un intervalo con su tasa de cambio instantánea en algún punto dentro de ese intervalo. En esencia, dice que en algún punto entre a y b, la derivada de la función (tasa de cambio instantánea) es igual a la tasa de cambio promedio de la función en el intervalo [a, b].

Enunciado Formal:

Si una función f(x) satisface las siguientes condiciones:

1. f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b].
2. f(x) es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que:

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Interpretación Geométrica:

Geométricamente, el TVM establece que existe al menos un punto en la gráfica de f(x) entre x = a y x = b donde la línea tangente a la gráfica es paralela a la línea secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Temas importantes:

• Continuidad: El teorema%20del%20valor%20medio%20requiere%20que%20la%20función%20sea%20continua en el intervalo cerrado [a, b].
• Derivabilidad: El teorema%20del%20valor%20medio%20requiere%20que%20la%20función%20sea%20derivable en el intervalo abierto (a, b).
• Existencia%20de%20un%20punto%20'c': El teorema%20del%20valor%20medio%20garantiza%20la%20existencia de al menos un punto 'c' que cumple la ecuación f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
• Aplicaciones: El teorema%20del%20valor%20medio%20tiene%20varias%20aplicaciones en cálculo, física y otras áreas.

Corolario:

Un corolario importante del TVM es que si la derivada de una función es cero en un intervalo, entonces la función es constante en ese intervalo.